Problème de Stokes et système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-espace

Danchin, Raphaël¹ ; Mucha, Piotr Bogusław²

¹ Université Paris-Est Laboratoire d’Analyse et de Math. Appliquées UMR 8050 61 avenue du Général de Gaulle 94010 Créteil Cedex
² Matematyki Stosowanej i Mechaniki Uniwersytet Warszawski ul. Banacha 2 02-097 Warszawa Poland

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2008-2009), Exposé no. 10, 19 p.

Résumé

On s’intéresse à la résolution du système de Navier-Stokes incompressible à densité variable dans le demi-espace ${ℝ}_{+}^n:={ℝ}^{n-1}\times ]0,\infty [$ en dimension $n\ge 3.$ On considère des données initiales à régularité critique. On établit que si la densité initiale est proche d’une constante strictement positive dans $L^{\infty }\cap {\dot{W}}^{1,n}$ et si la vitesse initiale est petite par rapport à la viscosité dans l’espace de Besov homogène ${\dot{B}}_{n,1}^0$ alors le système de Navier-Stokes admet une unique solution globale. La démonstration repose sur de nouvelles estimations de régularité maximale pour le système de Stokes dans le demi-espace.