Sur le pseudo-spectre de certaines classes d’opérateurs pseudo-différentiels non auto-adjoints

Pravda-Starov, Karel

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2006-2007), Exposé no. 15, 33 p.

Résumé

Nous nous intéressons dans cet exposé à l’étude des propriétés pseudo-spectrales de deux classes particulières d’opérateurs pseudo-différentiels non auto-adjoints. La première de ces deux classes est en fait seulement une classe d’opérateurs différentiels. Il s’agit de la classe des opérateurs différentiels quadratiques elliptiques, i.e. la classe des opérateurs définis en quantification de Weyl par un symbole qui est une forme quadratique elliptique à valeurs complexes. Nous nous proposons d’expliquer dans cet exposé quelles sont les propriétés microlocales qui régissent les phénomènes de stabilité ou d’instabilité spectrale qui apparaissent dans cette classe d’opérateurs sous l’effet de petites perturbations. Nous considérerons ensuite une « vraie » classe d’opérateurs pseudo-différentiels en étudiant les phénomènes qui se produisent lorsque la hessienne du symbole principal d’un opérateur pseudo-différentiel, prise en un point critique, définit un opérateur différentiel quadratique elliptique non normal. Il s’agira ainsi d’étudier ce qu’il reste des phénomènes d’instabilité spectrale observés dans la première partie de cet exposé pour les opérateurs différentiels quadratiques elliptiques non normaux, lorsque l’on considère des opérateurs pseudo-différentiels qui peuvent être localement « approximés » par de tels opérateurs.