Le Laplacien hypoelliptique

Bismut, Jean-Michel¹

¹ Département de Mathématique, Université Paris-Sud, Bâtiment 425, 91405 Orsay, France

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2003-2004), Exposé no. 21, 15 p.

Résumé

On construit une nouvelle théorie de Hodge sur le fibré cotangent d’une variété Riemannienne $X$. Le Laplacien correspondant est un opérateur hypoelliptique d’ordre deux, qui est autoadjoint relativement à une forme Hermitienne de signature $(\infty ,\infty )$. Cette théorie de Hodge interpole entre la théorie de Hodge habituelle sur $X$ et le flot géodésique sur $T*X$.

Abstract

We construct a new Hodge theory on the cotangent bundle of a Riemannian manifold $X$. The corresponding Laplacian is a second order hypoelliptic operator, which is self-adjoint with respect to a Hermitian form whose signature is $\left(\infty ,\infty \right)$. This Hodge theory interpolates between the classical Hodge theory on $X$ and the geodesic flow on $T*X$.