Méthodes KAM pour les opérateurs de Schrödinger non autonomes

Graffi, Sandro¹

¹ Dipartimento di Matematica, Università di Bologna, Piazza di Porta S Donato 5, 40127 Bologna, Italy

Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) dit aussi "Séminaire Goulaouic-Schwartz" (2001-2002), Exposé no. 14, 19 p.

Résumé

On élimine par la méthode KAM la dépendance temporelle dans une classe d’équations différentielles linéaires en ${\ell }^2$ avec dépendance quasi-périodique et non bornée du temps. Ceci entraîne la nature purement ponctuelle du spectre de Floquet de l’opérateur $H_0+ϵP\left(\omega t\right)$ pour $ϵ$ petit. Ici $H_0$ est l’opérateur différentiel de Schrödinger ordinaire ${\displaystyle -\frac{d^2}{d{x}^2}+V}$, $V\left(x\right)\sim {\left|x\right|}^{\alpha },\alpha >2$ lorsque $\left|x\right|\to \infty$, la perturbation quasi-périodique par rapport au temps $P$ peut diverger comme ${\displaystyle {\left|x\right|}^{\beta },\beta <(\alpha -2)/2}$, et le vecteur des fréquences $\omega$ n’est pas résonant. La preuve est fondée sur l’estimation de Kuksin pour les solutions des équations homologiques avec coefficients non constants.