Albanese and Picard $1$-motives

[$1$-motifs d’Albanese et de Picard]

Barbieri-Viale, Luca ; Srinivas, Vasudevan

Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 87 (2001) , 110 p.

Résumé

Soit $X$ une variété algébrique de dimension $n$ sur un corps de caractéristique $0$. Nous décrivons les $1$-motifs de Deligne ${\mathrm{Alb}}^{+}\left(X\right)$, ${\mathrm{Alb}}^{-}\left(X\right)$, ${\mathrm{Pic}}^{+}\left(X\right)$ et ${\mathrm{Pic}}^{-}\left(X\right)$ définis algébriquement, qui généralisent les variétés d’Albanese et de Picard classiques d’une variété projective lisse. Nous calculons les réalisations de Hodge, $\ell$-adique et de De Rham, montrant ainsi la conjecture de Deligne pour $H^{2n-1}$, $H_{2n-1}$, $H^1$ et $H_1$. Nous étudions la fonctorialité, l’universalité, l’invariance par homotopie et l’invariance par formation de fibrés projectifs. Nous comparons nos $1$-motifs homologiques et cohomologiques pour les schémas normaux. Pour des schémas propres, nous obtenons une application d’Abel-Jacobi du groupe de (Levine-Weibel) Chow des zéro-cycles vers notre $1$-motif cohomologique d’Albanese, qui est l’homomorphisme universel régulier vers les variétés semi-abéliennes. En utilisant cette propriété universelle, nous obtenons des applications de Gysin « motiviques » pour les morphismes projectifs localement intersection complète.

Abstract

Let $X$ be an $n$-dimensional algebraic variety over a field of characteristic zero. We describe algebraically defined Deligne $1$-motives ${\mathrm{Alb}}^{+}\left(X\right)$, ${\mathrm{Alb}}^{-}\left(X\right)$, ${\mathrm{Pic}}^{+}\left(X\right)$ and ${\mathrm{Pic}}^{-}\left(X\right)$ which generalize the classical Albanese and Picard varieties of a smooth projective variety. We compute Hodge, $\ell$-adic and De Rham realizations proving Deligne’s conjecture for $H^{2n-1}$, $H_{2n-1}$, $H^1$ and $H_1$. We investigate functoriality, universality, homotopical invariance and invariance under formation of projective bundles. We compare our cohomological and homological $1$-motives for normal schemes. For proper schemes, we obtain an Abel-Jacobi map from the (Levine-Weibel) Chow group of zero cycles to our cohomological Albanese $1$-motive which is the universal regular homomorphism to semi-abelian varieties. By using this universal property we get “motivic” Gysin maps for projective local complete intersection morphisms.

Détail

DOI : 10.24033/msmf.400

Classification : 14F42, 14C30, 32S35, 19E15
Keywords: Hodge theory, motives, algebraic cycles, singularities
Mots-clés : Théorie de Hodge, motifs, cycles algébriques, singularités