Sistemi dinamici discreti olomorfi locali

Marco, Abate

La Matematica nella società e nella cultura, Série 1, Tome 1 (2008) no. 3, pp. 409-441.

Résumé

La teoria dei sistemi dinamici si distingue da altri settori della matematica non per gli oggetti che studia ma per le domande che si pone su di loro. Per esempio, un sistema dinamico discreto è semplicemente un'applicazione (misurabile, continua, differenziable, olomorfa...) di uno spazio in sé. Studiare un'applicazione $f$ dal punto di vista dinamico significa allora studiare il comportamento qualitativo delle iterate $f^{k} = f \circ f \circ \cdots \circ f$ al tendere di $k$ all'infinito. In questo articolo vogliamo dare un'idea del tipo di questioni che si affrontano in dinamica restringendoci a un argomento limitato ma importante, la dinamica discreta olomorfa locale, che studia il comportamento dinamico di applicazioni olomorfe definite nell'intorno di un punto fisso. Nata alla fine dell'ottocento, più o meno in contemporanea con l'intero campo dei sistemi dinamici, ha avuto un grosso sviluppo negli ultimi trent'anni, con la dimostrazione di importanti risultati e lo sviluppo di nuove significative tematiche e naturali problemi aperti. Ne presenteremo le problematiche di base e i principali risultati ottenuti, evidenziando le idee più significative, almeno nel caso unidimensionale.