Eisenstein ideal and reducible $\lambda$-adic Representations Unramified Outside a Finite Number of Primes.

Ciavarella, Miriam

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 9B (2006) no. 3, pp. 711-721.

Résumé

L'argomento di questo articolo è lo studio di particolari rappresentazioni e $\lambda$-adiche bidimensionali di $\operatorname{Gal}(\bar{Q}/Q)$; fissati $p_{1}, \ldots, p_{n}$ primi distinti, considereremo rappresentazioni $\rho \colon G \to GL_{2}(A)$, date dalla matrice $\rho = \left(\begin{smallmatrix} a b \\ c d \end{smallmatrix}\right)$ che sono non ramificate fuori $p_{1}, \ldots, p_{n}, \infty$ e dalla caratteristica residua di $\lambda$, che sono prodotto di $m$ rappresentazioni su estensioni finite dell'anello dei vettori di Witt del campo residuo e che sono riducibili modulo $\lambda$. In analogia con la teoria delle rappresentazioni modulari, introdurremo l'analogo dell'algebra di Hecke di Mazur $T$, con un ideale $I$ di $T$ che chiameremo ideale di Eisenstein. Seguendo la strategia di Ribet e Papier [3], sotto le ipotesi: $\bullet$$p_{i} \not\equiv 1 \mod \ell$, per ogni $i = 1, \ldots, n$, $\bullet$ la semisemplificazione di $\bar{\rho}$ è descritta da due caratteri $\alpha$, $\beta$ che sono distinti se ristretti a $Z^{\times}_{\ell}$, otterremo i seguenti risultati: PROPOSIZIONE 0.1 - L'ideale di Eisenstein $I$ è uguale a $BC$, dove $B$ è il $T$-sottomodulo di $A$ generato da tutti i $b(g)$ con $g \in G$ e analogamente $C$ è definito usando i $c(g)$. Inoltre, $I$ è l'deale di $T$ generato dalle quantità $a(h) - 1$ per $h \in \operatorname{Gal}(K/Q^{ab} \cap K)$. PROPOSIZIONE 0.2 -- Supponiamo che la congettura di Vandiver sia vera per $\ell$ e che $I$ sia non-zero. Allora, a meno di sostituire $\rho$ con un coniugato, la rappresentazione $\rho$ assume valori in $GL_{2}(T)$ e la sua matrice dei coefficienti soddisfa: \begin{equation*}a \equiv \varphi, \quad d \equiv \psi, \quad c \equiv 0 \pmod I\end{equation*} dove $\varphi \equiv a \mod \mathcal{M}$ e $\psi \equiv \beta \mod \mathcal{M}$, per $\mathcal{M} = T \cap (\lambda)$. In particolare esiste uno e uno solo omomorfismo di anelli suriettivo dall'anello di deformazione universale $\mathcal{R}(\bar{\rho})$ in $T$, che induce l'isomorfismo identita sui campi residui.

Bibliographie

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[2] H. Carayol, Formes modulaires et representations galoisiennes valeurs dans un anneau local complet, Contemporary Mathematics, Volume 165, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, 213-237. | Zbl

[3] A. Ribet Kenneth - E. Papier, Eisenstein ideals and $\lambda$-adic representations, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 28 1981, no. 3 (1982), 651-665. | Zbl

[4] B. Mazur, An introduction to the deformation theory of Galois representation. In Modular Forms and Fermat's Last Theorem, G. Cornell, J. H. Silverman, G. Stevens, Eds. Springer, 43-311.

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