Links between $\Delta(x,N) = {\displaystyle \sum_{{n \leq xN, \,\, (n,N)=1}}} 1-x\phi(N)$ and character sums
Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 6B (2003) no. 2, pp. 509-516.

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Esprimiamo la funzione $\Delta(x, N)$ definita nel titolo, per $x=\frac{a}{q}$ con $q$ primo, mediante i caratteri modulo $q$. Utilizzando questo risultato dimostriamo che il confine inferiore universale per $\Delta(N)= \sup_{x\in \mathbb{R}} |\Delta (x,N)|$ può, in generale, essere sostanzialmente migliorato quando $N$ è composto di primi che appartengono ad una fissata classe di resti modulo $q$. Otteniamo inoltre un analogo miglioramento nel caso in cui $N$ sia il prodotto dei primi $s$ primi, per infiniti valori di $s$.
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Codecá, P.; Nair, M. Links between $\Delta(x,N) = {\displaystyle \sum_{{n \leq xN, \,\, (n,N)=1}}} 1-x\phi(N)$ and character sums. Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 6B (2003) no. 2, pp. 509-516. https://geodesic-test.mathdoc.fr/item/BUMI_2003_8_6B_2_a14/

[1] P. Codecà-M. Nair, Extremal Values of $\Delta(x,N)=\displaystyle\sum_{\substack{n \leq xN \\ (n,N)=1}} 1-x\phi(N)$. Canad. Math. Bull. Vol., 41 (3), (1998), 335-347. | MR | Zbl

[2] A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Hafner Publishing Company, New York 1971. | Jbk 58.0193.02 | MR | Zbl

[3] L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York 1982. | MR | Zbl