Composition operators on Banach spaces of formal power series

Yousefi, B. ; Jahedi, S.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 6B (2003) no. 2, pp. 481-487.

Abstract (VO)

Let $\{\beta (n){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ be a sequence of positive numbers and $1\le p\mathrm{\infty }$. We consider the space $H^p(\beta )$ of all power series $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)z^n$ such that $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|\hat{f}(n){|}^p\beta (n{)}^p\mathrm{\infty }$ . Suppose that $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ and $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{qj}}{\beta (n{)}^q}=\mathrm{\infty }$ for some nonnegative integer $j$. We show that if $C_{\phi }$ is compact on $H^p(\beta )$, then the non-tangential limit of ${\phi }^{(j+1)}$ has modulus greater than one at each boundary point of the open unit disc. Also we show that if $C_{\phi }$ is Fredholm on $H_p(\beta )$, then $\phi$ must be an automorphism of the open unit disc.

Riassunto

Supponiamo che $\{\beta (n){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ sia una successione di numeri positivi e $1\le p\mathrm{\infty }$. Consideriamo lo spazio $H^p(\beta )$ di tutte le serie di potenze $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)z^n$ tali che $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|\hat{f}(n){|}^p\beta (n{)}^p\mathrm{\infty }$. Supponiamo che $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ e $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{qj}}{\beta (n{)}^q}=\mathrm{\infty }$ per un intero non-negativo $j$. Dimostriamo che se $C_{\phi }$ è compatto su $H^p(\beta )$, allora il limite non-tangenziale di ${\phi }^{(j+1)}$ ha modulo maggiore di uno, in ogni punto della frontiera del disco unitario aperto. Dimostriamo anche che se $C_{\phi }$ è di Fredholm su $H_p(\beta )$, allora $\phi$ deve essere un automorfismo del disco unitario aperto.

Bibliographie

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