Morse index and blow-up points of solutions of some nonlinear problems

Khalil, El Mehdi ; Filomena, Pacella

Atti della Accademia nazionale dei Lincei. Rendiconti Lincei. Matematica e applicazioni, Série 9, Tome 13 (2002) no. 2, pp. 101-105.

Résumé

Si consideri il seguente problema $$ \begin{cases} - \triangle u = N(N-2) u^{p_{\epsilon}} - \lambda u \, \text{in } \Omega \\ u > 0 \text{in } \Omega \\ u = 0 \text{on } \partial \Omega. \end{cases} $$ dove $\Omega$ è un dominio regolare limitato e stellato in $\mathbb{R}^{N}$, $N \ge 3$, $p_{\epsilon} = \frac{N+2}{N-2} - \epsilon$, $\epsilon > 0$, e $\lambda \ge 0$. Si dimostra che se $u_{\epsilon}$ è una soluzione di indice di Morse m > 0 allora $u_{\epsilon}$ non può avere più di $m$ punti di massimo in $\Omega$, se $\epsilon$ è sufficientemente piccolo. Inoltre, se $\Omega$ è convesso si dimostra che ogni soluzione di indice di Morse $1$ ha un unico punto critico e gli insiemi di livello sono stellati, se $\epsilon$ è sufficientemente piccolo.