Geodesic
The overconvergent site
[Le site surconvergent]
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 127 (2011) , 114 p.

Voir la notice du livre provenant de la source Numdam

We prove that rigid cohomology can be computed as the cohomology of a site analogous to the crystalline site. Berthelot designed rigid cohomology as a common generalization of crystalline and Monsky-Washnitzer cohomology. Unfortunately, unlike the former, the functoriality of the theory is not built-in. We define the “overconvergent site” which is functorially attached to an algebraic variety. We prove that the category of modules of finite presentation on this ringed site is equivalent to the category of overconvergent isocrystals on the variety. We also prove that their cohomology coincides.

Nous montrons que la cohomologie rigide peut se calculer comme la cohomologie d’un site analogue au site cristallin. Berthelot a conçu la cohomologie rigide comme une généralisation commune de la cohomologie cristalline et de la cohomologie de Monsky-Washnitzer. Malheureusement, contrairement à ce qui se passe en cohomologie cristalline, la fonctorialité de la théorie ne résulte pas directement des définitions. Nous introduisons donc le « site surconvergent » qui est fonctoriellement attaché à une variété algébrique. Nous montrons que la catégorie des modules de présentation finie sur ce site annelé est équivalent à la catégorie des isocristaux surconvergents sur la variété. Nous montrons aussi que leurs cohomologies coïncident.

DOI : 10.24033/msmf.438
Classification : 14F30
Keywords: overconvergent, isocrystal, rigid, crystal, cohomology
Mots-clés : surconvergent, isocristal, rigide, cristal, cohomologie 
@book{MSMF_2011_2_127__1_0,
     author = {Le Stum, Bernard},
     title = {The overconvergent site},
     series = {M\'emoires de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
     publisher = {Soci\'et\'e math\'ematique de France},
     number = {127},
     year = {2011},
     doi = {10.24033/msmf.438},
     mrnumber = {2952779},
     zbl = {1246.14028},
     language = {en},
     url = {https://geodesic-test.mathdoc.fr/item/MSMF_2011_2_127__1_0/}
}
TY  - BOOK
AU  - Le Stum, Bernard
TI  - The overconvergent site
T3  - Mémoires de la Société Mathématique de France
PY  - 2011
IS  - 127
PB  - Société mathématique de France
UR  - https://geodesic-test.mathdoc.fr/item/MSMF_2011_2_127__1_0/
DO  - 10.24033/msmf.438
LA  - en
ID  - MSMF_2011_2_127__1_0
ER  - 
%0 Book
%A Le Stum, Bernard
%T The overconvergent site
%S Mémoires de la Société Mathématique de France
%D 2011
%N 127
%I Société mathématique de France
%U https://geodesic-test.mathdoc.fr/item/MSMF_2011_2_127__1_0/
%R 10.24033/msmf.438
%G en
%F MSMF_2011_2_127__1_0
Le Stum, Bernard. The overconvergent site. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 127 (2011), 114 p. doi : 10.24033/msmf.438. https://geodesic-test.mathdoc.fr/item/MSMF_2011_2_127__1_0/

[1] Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. Tome 3. Springer-Verlag, Berlin, 1973. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4), Dirigé par M. Artin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. Avec la collaboration de P. Deligne et B. Saint-Donat, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 305.

[2] Vladimir G. Berkovich. Spectral theory and analytic geometry over non-Archimedean fields, volume 33 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. | MR

[3] Vladimir G. Berkovich. Étale cohomology for non-Archimedean analytic spaces. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (78):5–161 (1994), 1993. | MR | EuDML | Zbl | mathdoc-id

[4] Vladimir G. Berkovich. Vanishing cycles for formal schemes. Invent. Math., 115(3):539–571, 1994. | MR | EuDML | Zbl

[5] Vladimir G. Berkovich. p-adic analytic spaces. In Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998), number Extra Vol. II, pages 141–151 (electronic), 1998. | MR | EuDML | Zbl

[6] Vladimir G. Berkovich. Smooth p-adic analytic spaces are locally contractible. Invent. Math., 137(1):1–84, 1999. | MR | Zbl

[7] Pierre Berthelot. Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0. Springer-Verlag, Berlin, 1974. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407. | MR | Zbl

[8] Pierre Berthelot. Cohomologie rigide et cohomologie à support propre, seconde partie. Incomplete, 1983.

[9] Pierre Berthelot. Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p. Mém. Soc. Math. France (N.S.), (23):3, 7–32, 1986. Introductions aux cohomologies p-adiques (Luminy, 1984). | MR | EuDML | Zbl | mathdoc-id

[10] Pierre Berthelot. Cohomologie rigide et cohomologie à support propre, première partie. Prépublication de l’IRMAR, 96(03):89, 1996.

[11] Amnon Besser. A generalization of Coleman’s p-adic integration theory. Invent. Math., 142(2):397–434, 2000. | MR | Zbl

[12] Amnon Besser. Syntomic regulators and p-adic integration. I. Rigid syntomic regulators. In Proceedings of the Conference on p-adic Aspects of the Theory of Automorphic Representations (Jerusalem, 1998), volume 120, pages 291–334, 2000. | MR | Zbl

[13] Siegfried Bosch, Ulrich Güntzer, and Reinhold Remmert. Non-Archimedean analysis, volume 261 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1984. A systematic approach to rigid analytic geometry. | MR | Zbl

[14] David Brown. Rigid cohomology of algebraic stacks. PhD thesis, University of California, 2010.

[15] Bruno Chiarellotto. Espaces de Berkovich et équations différentielles p-adiques. Une note. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 103:193–209, 2000. | MR | EuDML | Zbl | mathdoc-id

[16] Bruno Chiarellotto and Nobuo Tsuzuki. Cohomological descent of rigid cohomology for étale coverings. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 109:63–215, 2003. | MR | EuDML | Zbl | mathdoc-id

[17] Antoine Ducros. Étude de certaines propriétés locales et globales des espaces de Berkovich. Prépublication de l’IRMAR, 03(41):59, 2003.

[18] Jean-Yves Étesse and Bernard Le Stum. Fonctions L associées aux F-isocristaux surconvergents. I. Interprétation cohomologique. Math. Ann., 296(3):557–576, 1993. | MR | EuDML | Zbl

[19] Pierre Gabriel and Michel Zisman. Calculus of fractions and homotopy theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. | MR | Zbl

[20] Jean Giraud. Cohomologie non abélienne. Springer-Verlag, Berlin, 1971. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 179. | MR | Zbl

[21] Alexander Grothendieck. Crystals and the de Rham cohomology of schemes. In Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, pages 306–358. North-Holland, Amsterdam, 1968. | MR

[22] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Sheaves on manifolds, volume 292 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1990. With a chapter in French by Christian Houzel. | MR | Zbl

[23] Bernard Le Stum. Rigid cohomology, volume 172 of Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007. | MR | Zbl

[24] Paul Monsky and Gerard Washnitzer. Formal cohomology. I. Ann. of Math. (2), 88:181–217, 1968. | MR | Zbl

[25] Arthur Ogus. The convergent topos in characteristic p. In The Grothendieck Festschrift, Vol. III, volume 88 of Progr. Math., pages 133–162. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990. | MR | Zbl

[26] Michel Raynaud and Laurent Gruson. Critères de platitude et de projectivité. Techniques de “platification” d’un module. Invent. Math., 13:1–89, 1971. | MR | EuDML | Zbl

[27] Michael Temkin. On local properties of non-Archimedean analytic spaces. Math. Ann., 318(3):585–607, 2000. | MR | Zbl

[28] Michael Temkin. On local properties of non-Archimedean analytic spaces. II. Israel J. Math., 140:1–27, 2004. | MR | Zbl

Cité par Sources :