Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere

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Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere
[Transformée de Nahm pour les connexions intégrables sur la sphère de Riemann]

Szabó, Szilárd

Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 110 (2007) , 118 p.

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Abstract (VO)
Résumé

In this text, we define Nahm transform for parabolic integrable connections with regular singularities and one Poincaré rank $1$ irregular singularity on the Riemann sphere. After a first definition using $L^{2}$ -cohomology, we give an algebraic description in terms of hypercohomology. Exploiting these different interpretations, we give the transformed object by explicit analytic formulas as well as geometrically, by its spectral curve. Finally, we show that this transform is (up to a sign) an involution.

Dans ce texte, nous définissons la transformée de Nahm pour les connexions intégrables paraboliques ayant des singularités régulières et une singularité irrégulière de rang de Poincaré $1$ sur la sphère de Riemann. Après une définition en terme de cohomologie $L^{2}$ , nous donnons une description algébrique en terme d’hypercohomologie. En nous servant de cette double interprétation, nous décrivons l’objet transformé à la fois par des formules analytiques explicites et géométriquement en utilisant la courbe spectrale du problème. Finalement, nous démontrons que la correspondance définie est (à un signe près) une involution.

MR Zbl

DOI : 10.24033/msmf.422

Classification : 53C07, 14H60
Keywords: Connexion intégrable parabolique, fibré de Higgs parabolique, métrique d’Hermite-Einstein, singularité régulière, transformée de Nahm, opérateur de Dirac tordu, cohomologie

L^{2}

, hypercohomologie, courbe spectrale
Mots-clés : Parabolic integrable connection, parabolic Higgs bundle, Hermitian-Einstein metric, regular singularity, Nahm transform, twisted Dirac operator,

L^{2}

-cohomology, hypercohomology, spectral curve

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Szabó, Szilárd. Nahm transform for integrable connections on the Riemann sphere. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 110 (2007), 118 p. doi : 10.24033/msmf.422. https://geodesic-test.mathdoc.fr/item/MSMF_2007_2_110__1_0/

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