Geodesic
K-théorie et multiplicités dans L2(G/Γ)
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 89 (2002) , 91 p.

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On démontre une version généralisée du théorème d’indice L2 d’Atiyah concernant les opérateurs elliptiques équivariants sur des revêtements galoisiens de variétés compactes, dans le cadre de la K-théorie de Baum-Connes. En utilisant des résultats récents de K-théorie d’algèbres de groupes, ceci nous permet de démontrer les formules de multiplicités des séries discrètes intégrables dans les espaces homogènes de sous-groupes discrets cocompacts sans torsion, dans le cadre des groupes de Lie semi-simples (résultat dû à R.P. Langlands), mais également dans le cadre p-adique.

We prove a generalized version of the L2-index theorem of Atiyah concerning equivariant elliptic operators on coverings of compact manifolds, in the context of the Baum-Connes conjecture. Using recent results on the K-theory of group algebras, this enables us to compute the multiplicities of integrable discrete series in the homogeneous spaces of discrete torsionless and cocompact subgroups, in the case of semisimple Lie groups (a result due to R.P. Langlands), but also in the p-adique case.

DOI : 10.24033/msmf.402
Classification : 11F72, 19K14, 19K35, 22D10, 43-99, 46L08
Mots-clés : Traces densément définies, K-théorie, indice L2, séries discrètes
Keywords: Densely defined trace, K-theory, L2-index, discrete series 
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Pierrot, François. $K$-théorie et multiplicités dans $L^2(G/\Gamma )$. Mémoires de la Société Mathématique de France, Série 2, no. 89 (2002), 91 p. doi : 10.24033/msmf.402. https://geodesic-test.mathdoc.fr/item/MSMF_2002_2_89__1_0/

[1] M.F. Atiyah. Elliptic operators, discrete groups and Von Neumann Algebras. Astérisque 32-32 (1976), 43-72. | MR | Zbl | mathdoc-id

[2] J-B. Bost. Principe d’Oka, K-théorie et systèmes dynamiques non commutatifs. Invent. Math., 101 (1990), 261-333. | MR | EuDML | Zbl

[3] P. Baum & A. Connes. K-theory for Lie groups and foliation, IHES 1982.

[4] P. Baum, A. Connes & N. Higson. Classifying space for proper actions and K-theory of group C*-algebras. In C*-algebras : 1943-1993, vol. 167 of Contemp. Math., 240-291. AMS, RI, 1994. | MR

[5] M. Breuer. Fredholm theories in Von Neumann algebras I, Math. Ann. 178 (1968), 243-254. | MR | EuDML | Zbl

[6] A. Connes. Cyclic cohomology and the transverse fundamental class of a foliation. Geometric methods in operator algebras (Kyoto 1983), 52-114, Pitman Res. Notes in Math, 123, 1986. | MR | Zbl

[7] A. Connes & H. Moscovici. The L2-index theorem for homogeneous spaces of Lie groups, Ann. of Math. 115 (1982), 291-330. | MR | Zbl

[8] J. Dixmier. Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1964. | MR | Zbl

[9] J. Dixmier. Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien. Gauthier-Villars, 1969. | Zbl

[10] P. Green. Square integrable representations and the dual topology. JFA 35 (1980), 279-294. | MR | Zbl

[11] A. Grothendieck. Réarrangement de fonctions et inégalités de convexité dans les algèbres de Von Neumann munies d’une trace. Séminaire Bourbaki, mars 1955. | EuDML | Zbl | mathdoc-id

[12] N. Higson. The Baum-Connes conjecture, Proc. ICM, Vol. II (Berlin, 1998), Doc. Math., (1998), 637-646. | MR | EuDML | Zbl

[13] N. Higson & G. Kasparov. Operator K-theory for groups which act properly and isometrically on Hilbert space. Electron. Res. Announc. AMS, 3 :131-142 (electronic),1997. | MR | EuDML | Zbl

[14] R. Hotta & R. Parthasarathy. A geometric meaning of the multiplicity of integrable discrete classes in L2(G/Γ). Osaka J. Math, 10 (1973), 211-234. | MR | Zbl

[15] R. Hotta & R. Parthasarathy. Multiplicity formulae for discrete series. Invent. Math. 26 (1974), 133-178. | MR | EuDML | Zbl

[16] Harish-Chandra. Discrete series for semisimple Lie groups : II, Acta Math. 116 (1966), 1-111. | MR

[17] G. Kasparov. Equivariant 𝐾𝐾-theory and the Novikov conjecture, Invent. Math. 91 (1988), 147-201. | MR | EuDML | Zbl

[18] V. Lafforgue. Thèse de doctorat. Université Paris Sud, 1999.

[19] V. Lafforgue. Une démonstration de la conjecture de Baum-Connes pour les groupes réductifs sur un corps p-adique et pour certains groupes discrets possédant la propriété (T). CRAS 327 (1998), 439-444. | MR

[20] R.P. Langlands. Dimension of automorphic forms. PSPM vol. 9, 1966, 253-257. | MR | Zbl

[21] P. Muhly, J. Renault & D. Williams. Equivalence and isomorphism for groupoid C*-algebras. J.O.T. 17 (1987), 3-22. | MR | Zbl

[22] C.C. Moore & J.A. Wolf. Square integrable representations of nilpotent Lie groups. Trans. AMS. 185 (1973), 445-462. | MR | Zbl

[23] G. Pedersen. C*-algebras and their automorphism groups. London Math. Soc. monographs vol. 14. Academic Press, 1979. | MR | Zbl

[24] M.A. Rieffel. Morita equivalence for C*-algebras and W*-algebras. J. Pure Appl. Algebra 5 (1974), 51-96. | MR | Zbl

[25] G. Skandalis. Cours de 3e cycle. Paris VII.

[26] E. H. Spanier. Algebraic topology. Mc Graw Hill (1966). | MR | Zbl

[27] R. G. Swan. Topological examples of projective modules. Trans. AMS 230 (1977), 201-234. | MR | Zbl

[28] J.L. Tu. Thèse de doctorat. Université Paris 7, 1996.

[29] A. Valette. K-theory for the reduced C*-algebra of semisimple Lie groups with real rank 1 and finite center. Quart. J. Math. Oxford (2) 35 (1984), 341-359. | MR | Zbl

[30] A. Valette. Minimal projections, integrable representations and property (T). Arch. Math. (Basel) 43 (1984), 397-406. | MR | Zbl

[31] A. Wassermann. Une démonstration de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de Lie linéaires connexes réductifs. CRAS 304 (1987), 559-562. | MR | Zbl

[32] F. Williams. Discrete series multiplicities in L2(G/Γ). Amer J. Math 106 (1984), 137-148 et 107 (1985), 367-376. | MR

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