Boundary behaviour of harmonic functions in a half-space and brownian motion

Burkholder, D. L. ; Gundy, Richard F.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 4, pp. 195-212.

Résumé

Soit $u(x,y)$ une fonction harmonique dans le demi-espace $R_{+}^{n+1}$, $n\ge 2$. Nous montrons que $u(x,y)$ peut avoir une limite fine en presque chaque point du cube unité dans $R^n=\partial R_{+}^{n+1}$ sans avoir pourtant de limite non tangentielle en aucun point du cube. La méthode est probabiliste et utilise l’équivalence entre limites conditionnelles du mouvement brownien et limites fines à la frontière.

Dans $R_{+}^2$, il est connu que l’on peut caractériser les classes de Hardy $H^p$, $0<p<\infty$, par l’intégrabilité de la fonction maximale du mouvement brownien. Nous montrons que ce résultat est aussi valable dans $R_{+}^{n+1}$, pour $n\ge 2$.

Abstract

Let $u$ be harmonic in the half-space $R_{+}^{n+1}$, $n\ge 2$. We show that $u$ can have a fine limit at almost every point of the unit cubs in $R^n=\partial R_{+}^{n+1}$ but fail to have a nontangential limit at any point of the cube. The method is probabilistic and utilizes the equivalence between conditional Brownian motion limits and fine limits at the boundary.

In $R_{+}^2$ it is known that the Hardy classes $H^p$, $0<p<\infty$, may be described in terms of the integrability of the nontangential maximal function, or, alternatively, in terms of the integrability of a Brownian motion maximal function. This result is shown to hold in $R_{+}^{n+1}$, for $n\ge 2$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.487