Idele characters in spectral synthesis on $𝐑/2\pi 𝐙$

Benedetto, John J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 4, pp. 45-64.

Résumé

Soit $s\in \mathbf{C}$, $x\in \mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$. Nous construisons une série de Dirichlet $F(x,x)$ où pour chaque $s$ fixé dans un demi-plan, $\mathrm{Re}F(x,x)$, comme une fonction de $x$, est une série de Fourier absolument convergente qui ne satisfait pas à la synthèse. À cause de la méthode de choix des fréquences en $F$, nous sommes conduits à introduire une classe de séries de Fourier absolument convergentes, satisfaisant à la synthèse, qui sont définis par les caractères idèles. Nous résoudrons “le problème du prolongement analytique” dans ce milieu en construisant les pseudomesures déterminées par les caractères idèles, quand $\mathrm{Re}s\le 1$.

Abstract

Let $s\in \mathbf{C}$, $x\in \mathbf{R}/2\pi \mathbf{Z}$. We construct Dirichlet series $F(x,x)$ where for each fixed $s$ in a half plane, $\mathrm{Re}F(x,x)$, as a function of $x$, is a non-synthesizable absolutely convergent Fourier series. Because of the way the frequencies in $F$ are chosen, we are motivated to introduce a class of synthesizable absolutely convergent Fourier series which are defined in terms of idele characters. We solve the “problem of analytic continuation” in this setting by constructing pseudo-measures, determined by idele characters, when $\mathrm{Re}s\le 1$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.481