Spectral synthesis and the Pompeiu problem

Brown, L. ; Schreiber, B. ; Taylor, B. A.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 3, pp. 125-154.

Résumé

On démontre que chaque sous-espace vectoriel fermé $V$ de $C\left({\mathbf{R}}^n\right)$ ou de $\mathbf{E}\left({\mathbf{R}}^n\right)$, $n\ge 2$, invariant par toutes les rotations et toutes les translations de ${\mathbf{R}}^n$ est un espace de synthèse spectrale, c’est-à-dire, $V$ est engendré par les exponentielles-polynômes qu’il contient. C’est un problème classique de déterminer toutes les mesures $\mu$ à support compact dans ${\mathbf{R}}^2$ qui possèdent la propriété suivante : (P) Si $f\in C\left({\mathbf{R}}^2\right)$ et ${\int }_{{\mathbf{R}}^2}f\circ \sigma d\mu =0$ quel que soit la transformation rigide $\sigma$ de ${\mathbf{R}}^2$, alors $f\equiv 0$. Comme application du résultat ci-dessus on caractérise ces mesures moyennant les transformées de Fourier-Laplace. Ce résultat et quelques estimations asymptotiques de la croissance des transformées de Fourier-Laplace le long de certaines courbes tendant vers l’infini montrent que, pour une classe assez grande de régions compactes de ${\mathbf{R}}^2$, les mesures de surface satisfont à la condition (P). Le théorème de synthèse spectrale implique aussi un théorème de Delsarte (deux cercles) se rapportant aux fonctions harmoniques et quelques résultats analogues au théorème de Morera.

Abstract

It is shown that every closed rotation and translation invariant subspace $V$ of $C\left({\mathbf{R}}^n\right)$ or $\delta \left({\mathbf{R}}^n\right)$, $n\ge 2$, is of spectral synthesis, i.e. $V$ is spanned by the polynomial-exponential functions it contains. It is a classical problem to find those measures $\mu$ of compact support on ${\mathbf{R}}^2$ with the following property: (P) The only function $f\in C\left({\mathbf{R}}^2\right)$ satisfying ${\int }_{{\mathbf{R}}^2}f\circ \sigma d\mu =0$ for all rigid motions $\sigma$ of ${\mathbf{R}}^2$ is the zero function. As an application of the above result a characterization of such measures is obtained in terms of their Fourier-Laplace transforms. Using this characterization, along with asymptotic estimates of the growth of Fourier-Laplace transforms along certain curves, it is shown that property (P) is satisfied by the area measures on a large class of compact regions in the plane. The spectral synthesis theorem also implies Delsarte’s two circle theorem for harmonic functions and other results related to Morera’s converse of the Cauchy integral theorem.

Détail

DOI : 10.5802/aif.474