Real algebraic actions on projective spaces - A survey

Petrie, Ted

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 2, pp. 135-150.

Résumé

Soit $G$ un groupe de Lie compact. Pour toute $G$-variété différentiable $Y$ on introduit l’ensemble ${\mathbf{S}}_G\left(Y\right)$ des classes d’équivalence de couples $(X,f)$ où $f:X\to Y$ est une $G$-application et une équivalence d’homotopie, deux couples $(X_i,f_i)$, $i=0,1$, étant équivalents s’il existe une $G$-équivalence d’homotopie $\varphi :X_0\to X_1$ telle que $f_0$ soit $G$-homotope à $f_1\circ \varphi$.

Les propriétés de l’ensemble ${\mathbf{S}}_G\left(Y\right)$ dépendent des représentations de $G$ dans les espaces tangents à $X$ et $Y$ en les points fixes de $G$.

Dans le cas où $G$ est $S^1$, et où $Y$ est la $G$-variété définie par une action “linéaire” de $S^1$ sur l’espace projectif complexe $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^n$, on exhibe un élément non trivial de ${\mathbf{S}}_{S^4}\left(Y\right)$ en introduisant une action algébrique réelle de $S^1$ sur $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^n$ ayant des points fixes isolés et telle que la famille des représentations de $S^1$ dans les espaces tangents en ces points fixes soit distincte de toute famille de représentations provenant d’une action “linéaire” de $S^1$ sur $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^n$.

Abstract

Let $G$ be a compact lie group. We introduce the set ${\mathbf{S}}_G\left(Y\right)$ for every smooth $G$ manifold $Y$. It consists of equivalence classes of pair $(X,f)$ where $f:X\to Y$ is a $G$ map which defines a homotopy equivalence from $X$ to $Y$. Two pairs $(X_i,f_i)$, for $i=0,1$, are equivalent if there is a $G$ homotopy equivalence $\varphi :X_0\to X_1$ such that $f_0$ is $G$ homotopic to $f_1\circ \varphi$.

Properties of the set ${\mathbf{S}}_G\left(Y\right)$ and related to the representation of $G$ on the tangent spaces of $X$ and $Y$ at the fixed points. For the case $G=S^1$ and $Y$ is the $S^1$ manifold defined by a “linear” $S^1$ action on complex projective $n$ space $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^n$, we exhibit non-trivial elements of ${\mathbf{S}}_{S^4}\left(Y\right)$ by discussing a real algebraic action of $S^1$ on $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^n$ with isolated fixed points such that the collection of representations of $S^1$ on the tangent spaces at the isolated fixed points as distinct from the collection of representations occurring for any “linear” $S^1$ action on $\mathbf{C}{\mathbf{P}}^n$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.464