Holomorphic functions on locally convex topological vector spaces. I. Locally convex topologies on $\mathscr{H}\left(U\right)$

Dineen, Sean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 1, pp. 19-54.

Résumé

Ce travail est consacré à l’étude des topologies localement convexes sur $\mathbf{H}\left(U\right)$ (lorsque $U$ est un sous-ensemble d’un espace vectoriel topologique localement convexe, $E$, et $\mathbf{H}\left(U\right)$ est l’ensemble des fonctions analytiques sur $U$). Nous discuterons les topologies suivantes sur $\mathbf{H}\left(U\right)$ :

(a) la topologie de la convergence compacte, ${\mathbf{I}}_o$ ;

(b) la topologie bornologique associée avec ${\mathbf{I}}_o$ ;

(c) la topologie engendrée par les semi-normes portables par un compact, de $U$, ${\mathbf{I}}_{\omega }$ ;

(d) la topologie bornologique associée avec ${\mathbf{I}}_{\omega }$ ; et

(e) la ${\mathbf{I}}_{\omega }$ topologie de Nachbin.

Pour $U$ balancé nous démontrerons que ces topologies ont rapport avec quelques espaces de convergence de la série de Taylor en $o$. Cette démonstration nous permet d’obtenir un critère pour l’égalité des topologies diverses sur $\mathbf{I}\left(u\right)$, et de construire des contre-exemples si l’égalité n’existe pas.

Abstract

This article is devoted to a study of locally convex topologies on $\mathbf{H}\left(U\right)$ (where $U$ is an open subset of the locally convex topological vector space $E$ and $\mathbf{H}\left(U\right)$ is the set of all complex valued holomorphic functions on $E$). We discuss the following topologies on $\mathbf{H}\left(U\right)$:

(a) the compact open topology ${\mathbf{I}}_0$,

(b) the bornological topology associated with ${\mathbf{I}}_0$,

(c) the ported topology of Nachbin ${\mathbf{I}}_{\omega }$,

(d) the bornological topology associated with ${\mathbf{I}}_{\omega }$ ; and

(e) the ${\mathbf{I}}_{\omega }$ topological of Nachbin.

For $U$ balanced we show these topologies are related to various kinds of convergence of the Taylor series at $o$. This in turn allows us to obtain criterion for equality of different topologies on $\mathbf{H}\left(U\right)$ and to construct counterexamples when we do not have equality.

Détail

DOI : 10.5802/aif.443