An Analytic Description of Local Intersection Numbers at Non-Archimedian Places for Products of Semi-Stable Curves

Kolb, Johannes¹

¹ Universitaet Regensburg, Mathematik, 93040

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 25 (2016) no. 1, pp. 19-63.

Résumé

Nous généralisons une formule de Shou-Wu Zhang [8, Thm 3.4.2], qui donne une description en termes d’analyse élémentaire pour le nombre d’intersections arithmétiques locales de trois diviseurs de Cartier à support dans la fibre spéciale sur l’auto-produit d’une surface arithmétique semi-stable. Par un argument d’approximation, Zhang étend sa formule à une formule pour les nombres d’intersections arithmétiques locaux de trois fibrés en droites avec des métriques adéliques sur l’auto-produit d’une courbe sous condition que le fibré en droites sous-jacent soit trivial. En utilisant les résultats en théorie de l’intersection de [5] nous généralisons les résultats de Zhang aux $d$-iemes auto-produits pour un nombre naturel arbitraire $d$. Pour que les approximations convergent, nous devons supposer que le nombre naturel $d$ satisfait une certaine condition d’annulation [5, 4.7]. Cette condition est satisfaite au moins pour $d\in {\{2,3,4,5\}}^2$

Abstract

We generalize a formula of Shou-Wu Zhang [8, Thm 3.4.2], which describes local arithmetic intersection numbers of three Cartier divisors with support in the special fiber on a self-product of a semi-stable arithmetic surface using elementary analysis. By an approximation argument, Zhang extends his formula to a formula for local arithmetic intersection numbers of three adelic metrized line bundles on the self-product of a curve with trivial underlying line bundle. Using the results on intersection theory from [5] we generalize these results to $d$-fold self-products for arbitrary $d$. For the approximations to converge, we have to assume that $d$ satisfies the vanishing condition [5, 4.7], which is true at least for $d\in {\{2,3,4,5\}}^3$

Détail

Reçu le : 2014-06-08
Accepté le : 2015-04-30
Publié le : 2016-03-01
DOI : 10.5802/afst.1486