Extension of the Two-Variable Pierce-Birkhoff conjecture to generalized polynomials

Delzell, Charles N.¹ 

¹ Department of Mathematics Louisiana State University Baton Rouge, Louisiana 70803 USA

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Numéro spécial : Actes de la Conférence sur les anneaux ordonnés en honneur de Melvin Henriksen, Université d’état de Louisiane à Bâton Rouge, 2007, Tome 19 (2010) no. S1, pp. 37-56.

Abstract (VO)

Let $h:{ℝ}^n\to ℝ$ be a continuous, piecewise-polynomial function. The Pierce-Birkhoff conjecture (1956) is that any such $h$ is representable in the form ${sup}_i{inf}_j{f}_{ij}$, for some finite collection of polynomials $f_{ij}\in ℝ[x_1,...,x_n]$. (A simple example is $h\left(x_1\right)=\left|x_1\right|=sup\{x_1,-x_1\}$.) In 1984, L. Mahé and, independently, G. Efroymson, proved this for $n\le 2$; it remains open for $n\ge 3$. In this paper we prove an analogous result for “generalized polynomials” (also known as signomials), i.e., where the exponents are allowed to be arbitrary real numbers, and not just natural numbers; in this version, we restrict to the positive orthant, where each $x_i>0$. As before, our methods work only for $n\le 2$.

Résumé

En 1984, L. Mahé, et indépendammant G. Efroymson, ont prouvé le cas où $n\le 2$ de la conjecture de Pierce-Birkhoff (1956) : une fonction $h:{ℝ}^n\to ℝ$ continue polynomiale par morceaux peut s’écrire comme ${sup}_i{inf}_j{f}_{ij}$, pour une collection finie de polynômes $f_{ij}\in ℝ[x_1,...,x_n]$. (Un exemple simple est $h\left(x_1\right)=\left|x_1\right|=sup\{x_1,-x_1\}$.) La conjecture reste ouverte pour $n\ge 3$. Dans cet article, nous prouvons (encore pour $n\le 2$) un résultat analogue pour « polynômes généralisés », où les exposants peuvent être des nombres réels arbitraires, et non pas seulement des nombres naturels ; dans cette version, nous limitons le domaine à l’orthant positif, où chaque $x_i>0$.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1274

Bibliographie

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