Geodesic
A generic condition implying o-minimality for restricted C∞-functions
Le Gal, Olivier1 
1 Dpto. Algebra, Geometría y Topologia. Facultad de Ciencas. E-47005-Valladolid. Spain
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 479-492.

Voir la notice de l'article provenant de la source Numdam

We prove that the expansion of the real field by a restricted C∞-function is generically o-minimal. Such a result was announced by A. Grigoriev, and proved in a different way. Here, we deduce quasi-analyticity from a transcendence condition on Taylor expansions. This then implies o-minimality. The transcendance condition is shown to be generic. As a corollary, we recover in a simple way that there exist o-minimal structures that doesn’t admit analytic cell decomposition, and that there exist incompatible o-minimal structures. We even obtain o-minimal structures that are not compatible with restricted analytic functions.

On montre que génériquement, l’expansion du corps des réels par une fonction C∞ restreinte est o-minimale. Un résultat du même type utilisant d’autres d’arguments a été annoncé par A. Grigoriev. Ici, nous utilisons une condition de transcendance sur les développements de Taylor pour assurer la quasianalyticité de certaines algèbres différentielles, ce qui implique la o-minimalité. On montre que cette condition de transcendance est générique. Comme corollaire de ce résultat, on donne des preuves simples du fait qu’il existe des structures o-minimales n’admettant pas de décomposition cellulaire analytique, et qu’il existe des structures o-minimales incompatibles. On obtient même des structures o-minimales non compatibles avec les fonctions analytiques restreintes.

DOI : 10.5802/afst.1252

Le Gal, Olivier 1

1 Dpto. Algebra, Geometría y Topologia. Facultad de Ciencas. E-47005-Valladolid. Spain 
@article{AFST_2010_6_19_3-4_479_0,
     author = {Le Gal, Olivier},
     title = {A generic condition implying o-minimality for restricted {C}$^{\infty }$-functions},
     journal = {Annales de la Facult\'e des sciences de Toulouse : Math\'ematiques},
     pages = {479--492},
     publisher = {Universit\'e Paul Sabatier, Institut de Math\'ematiques},
     address = {Toulouse},
     volume = {Ser. 6, 19},
     number = {3-4},
     year = {2010},
     doi = {10.5802/afst.1252},
     zbl = {1215.26012},
     mrnumber = {2790804},
     language = {en},
     url = {https://geodesic-test.mathdoc.fr/articles/10.5802/afst.1252/}
}
TY  - JOUR
AU  - Le Gal, Olivier
TI  - A generic condition implying o-minimality for restricted C$^{\infty }$-functions
JO  - Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
PY  - 2010
SP  - 479
EP  - 492
VL  - 19
IS  - 3-4
PB  - Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
PP  - Toulouse
UR  - https://geodesic-test.mathdoc.fr/articles/10.5802/afst.1252/
DO  - 10.5802/afst.1252
LA  - en
ID  - AFST_2010_6_19_3-4_479_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Le Gal, Olivier
%T A generic condition implying o-minimality for restricted C$^{\infty }$-functions
%J Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques
%D 2010
%P 479-492
%V 19
%N 3-4
%I Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques
%C Toulouse
%U https://geodesic-test.mathdoc.fr/articles/10.5802/afst.1252/
%R 10.5802/afst.1252
%G en
%F AFST_2010_6_19_3-4_479_0
Le Gal, Olivier. A generic condition implying o-minimality for restricted C$^{\infty }$-functions. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 3-4, pp. 479-492. doi : 10.5802/afst.1252. https://geodesic-test.mathdoc.fr/articles/10.5802/afst.1252/

[Cos00] Coste (M.).— An introduction to o-minimal geometry. Instituti editoriali e poligrafici in-ternazionali (2000).

[DvdD88] Denef (J.) and van den Dries (L.).— P-adic and real subanalytic sets. Ann. Math., 128:79-138 (1988). | Zbl | MR

[Gab96] Gabrielov (A.).— Complements of subanalytic sets and existential formulas for analytic functions. Invent. math., 125:1-12 (1996). | Zbl | MR

[Gri05] Grigoriev (A.).— On o-minimality of extensions of the real field by restricted generic smooth functions. arXiv.org:math/0506109 (2005).

[LGR08] Le Gal O. and Rolin (J.-P.).— An o-minimal structure which does not admit C∞-cellular decomposition. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 59, 2:543-546 (2008). | Zbl | mathdoc-id

[RSW03] Rolin J.-P., Speissegger (P.), and Wilkie (A. J.).— Quasianalytic Denjoy-Carleman classes and o-minimality. J. Amer. Math. Soc., 16(4):751-777 (electronic) (2003). | Zbl | MR

[vdD98] van den Dries (L.).— Tame topology and o-minimal structures, volume 248 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge (1998). | Zbl | MR

[Wil99] Wilkie (A.).— A theorem of the complement and some new o-minimal structures. Sel. math., 5:397-421 (1999). | Zbl | MR

Cité par Sources :