Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta

Bézivin, Jean-Paul¹

¹ Université de Caen, Département de Mathématiques et Mécanique, Laboratoire N.Oresme, Campus II, Boulevard du Maréchal Juin, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 17 (2008) no. 1, pp. 23-36.

Résumé

Pour $q\in ℂ$, $\left|q\right|<1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ${\displaystyle {\zeta }_q\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}{q}^n}{1-q^n}}$.

Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(k\right)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(2\right),{\zeta }_q\left(4\right),{\zeta }_q\left(6\right)$, et des fonctions ${\zeta }_q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.

Dans cet article, nous considérons la fonction ${\displaystyle L(x,y)=\sum _{n\ge 1}\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$, et, avec ${\displaystyle \tau =y\frac{d}{dy}}$, les fonctions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,y)=\sum _{n\ge 1}{n}^j\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$. Pour des valeurs $a_k,k=1,...,s$, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,a_k)}$.

Abstract

For $q\in ℂ$, $\left|q\right|<1$, one extends the Riemann Zeta function in the following way: ${\displaystyle {\zeta }_q\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}{q}^n}{1-q^n}}$.

In the paper [8], W. Zudilin has formulated two questions about these functions. The first one is about the linear independence over $ℂ\left(q\right)$ of the functions ${\zeta }_q\left(k\right)$, $k\ge 1$, and the second one about the algebraic independence over $ℂ\left(q\right)$ of ${\zeta }_q\left(2\right),{\zeta }_q\left(4\right),{\zeta }_q\left(6\right)$, and ${\zeta }_q(2k+1)$, $k\ge 0$.

In the paper [5], Y. Pupyrev has positively answered the first question, and has given partial results for the second.

In this paper, we consider the function ${\displaystyle L(x,y)=\sum _{n\ge 1}\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$, and, with ${\displaystyle \tau =y\frac{d}{dy}}$, the functions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,y)=\sum _{n\ge 1}{n}^j\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$. For complex values $a_k,k=1,...,s$, satisfying some technical conditions, we show linear and algebraic independence results for the functions ${\displaystyle {\tau }^j\left(L\right)(x,a_k)}$.

Détail

Reçu le : 2006-11-09
Accepté le : 2007-01-31
Publié le : 2008-12-05
DOI : 10.5802/afst.1173