Le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure

Delsinne, Emmanuel

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 42 (2009) no. 6, pp. 981-1028.

Résumé

Nous généralisons en dimension supérieure un théorème d’Amoroso et Zannier concernant le problème de Lehmer relatif. Nous minorons la hauteur d’un point d’un tore en fonction de son indice d’obstruction sur ${\mathbb{Q}}^{\mathrm{ab}}$, l’extension abélienne maximale de $\mathbb{Q}$, à condition qu’il ne soit pas contenu dans une sous-variété de torsion de petit degré. Nous en déduisons une minoration du minimum essentiel d’une sous-variété non contenue dans un sous-groupe algébrique propre en fonction de son indice d’obstruction sur ${\mathbb{Q}}^{\mathrm{ab}}$. Nous montrons ainsi, à un epsilon près, les conjectures les plus fines qui peuvent être formulées dans ce cadre.

Abstract

We generalize in higher dimension a theorem of Amoroso and Zannier concerning the relative Lehmer problem. We obtain a lower bound for the height of a point in a torus in terms of its obstruction index over ${\mathbb{Q}}^{\mathrm{ab}}$, the maximal abelian extension of $\mathbb{Q}$, provided that this point does not lie in a torsion subvariety of small degree. We deduce a lower bound for the essential minimum of a subvariety not contained in a proper algebraic subgroup in terms of its obstruction index over ${\mathbb{Q}}^{\mathrm{ab}}$. We prove up to an epsilon the sharpest conjectures that can be formulated.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2114

Classification : 11G50, 14G40, 11R20
Mots-clés : hauteur normalisée, tore, extensions abéliennes, problème de Lehmer
Keywords: normalized height, torus, abelian extensions, Lehmer's problem