Herman's last geometric theorem

[Le dernier théorème géométrique d'Herman]

Fayad, Bassam ; Krikorian, Raphaël

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 42 (2009) no. 2, pp. 193-219.

Résumé

Nous présentons une preuve du dernier théorème géométrique d’Herman qui affirme que, si un difféomorphisme $F$ de l’anneau possède la propriété d’intersection, alors toute courbe $C^{\infty }$ $F$-invariante, sur laquelle le nombre de rotation de $F$ est diophantien, est accumulée par un ensemble de mesure positive de courbes invariantes $C^{\infty }$ sur lesquelles $F$ est $C^{\infty }$-conjuguée à une rotation. Ceci implique en particulier la stabilité des points fixes elliptiques diophantiens des difféomorphismes du plan qui préservent l’aire. Le caractère remarquable de ce théorème est qu’il ne requiert aucune condition de torsion.

Abstract

We present a proof of Herman’s Last Geometric Theorem asserting that if $F$ is a smooth diffeomorphism of the annulus having the intersection property, then any given $F$-invariant smooth curve on which the rotation number of $F$ is Diophantine is accumulated by a positive measure set of smooth invariant curves on which $F$ is smoothly conjugated to rotation maps. This implies in particular that a Diophantine elliptic fixed point of an area preserving diffeomorphism of the plane is stable. The remarkable feature of this theorem is that it does not require any twist assumption.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2093

Classification : 37J40, 37J10, 37E30, 70H14, 70H08
Keywords: Birkhoff normal forms, KAM theory, invariant curves, Whitney dependence, stability of elliptic fixed, disk diffeomorphisms
Mots-clés : formes normales de Birkhoff, théorie KAM, courbes invariantes, dépendance de Whitney, stabilité des points fixes elliptiques, difféomorphismes du disque