Pourquoi les points périodiques des homéomorphismes du plan tournent-ils autour de certains points fixes ?

Le Calvez, Patrice

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 41 (2008) no. 1, pp. 141-176.

Résumé

Soit $f$ un homéomorphisme du plan qui préserve l’orientation et qui a un point périodique $z^{*}$ de période $q\ge 2$. Nous montrons qu’il existe un point fixe $z$ tel que le nombre d’enlacement de $z^{*}$ et $z$ ne soit pas nul. En d’autres termes, le nombre de rotation de l’orbite de $z^{*}$ dans l’anneau ${ℝ}^2\setminus \left\{z\right\}$ est un élément non nul de $ℝ/\mathbb{Z}$. Ceci donne une réponse positive à une question posée par John Franks.

Abstract

Let $f$ be an orientation-preserving homeomorphism of the euclidean plane ${ℝ}^2$ that has a periodic point $z^{*}$ of period $q\ge 2$. We prove the existence of a fixed point $z$ such that the linking number between $z^{*}$ and $z$ is different from zero. That means that the rotation number of $z^{*}$ in the annulus ${ℝ}^2\setminus \left\{z\right\}$ is a non-zero element of $ℝ/\mathbb{Z}$. This gives a positive answer to a question asked by John Franks.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2065

Classification : 37C25, 37E30, 37E35, 37B25, 37B30
Mots-clés : orbite périodique, homéomorphisme du plan, nombre d'enlacement, indice, feuilletage dynamiquement transverse